Особенности развития арифметических навыков у школьников с синдромом Дауна

Почти у всех, кто соприкасается с обучением детей с синдромом Дауна, сложилось представление, что всё, связанное с числами, воспринимается ими с трудом, что они очень медленно усваивают сложные математические конструкции. Это объясняется тем, что математические действия требуют довольно высокого уровня абстрактного мышления, хорошей кратковременной памяти и способности оперировать несколькими понятиями одновременно. Подобные трудности в обучении сохраняются, несмотря на проведение регулярных занятий и достижения учащихся в других областях жизни. Их наличие не зависит от стиля или методики преподавания математики. Однако есть способности, которые у людей с синдромом Дауна развиты сравнительно хорошо, поэтому разумным представляется создавать методики, которые при обучении базовым математическим навыкам опирались бы на эти сильные стороны [1].

Для развития новых стратегий обучения необходимо как можно точнее определить, какие именно трудности испытывают дети с синдромом Дауна. Исследования неврологической основы развития ранних представлений о числе и арифметических действиях привели к пониманию процессов, происходящих в мозгу у типично развивающихся детей, и специфики этих процессов при атипичном развитии [6, 8]. Одним из результатов исследовательской работы является обнаружение и описание специфической трудности усвоения арифметических навыков, названной онтогенетической дискалькулией.

Прежде чем рассматривать проблемы с освоением математики у людей с синдромом Дауна и их связь с онтогенетической дискалькулией, разберемся, что же такое математическое мышление.

Одно из определений математического мышления таково: «это абстрактное теоретическое мышление, объекты которого лишены вещественности, но при этом они могут быть интерпретированы любым произвольным образом с одним лишь условием — должны сохраняться заданные между объектами отношения» [3].

Поскольку математика — это наука не только об уравнениях и формулах, но и о структурах, порядке и отношениях, главное отличие математического мышления от обычного (повседневного) состоит в том, что оно развивает у человека навык упорядоченного, критического восприятия окружающего мира, желание и умение «копнуть глубже», понять причины и суть самых разных явлений.

«Чувство числа»

Исследования, проведенные психологами и нейробиологами, показали модель человеческого познания, в котором действуют два механизма — невербальный и вербальный. Невербальный механизм обычно называют доречевым, однако он продолжает функционировать и после развития вербального механизма на протяжении всей жизни. Невербальный механизм присутствует и у человека, и у животных. Вербальный же механизм демонстрирует только человек. Но животные также обладают способностью чувствовать количество, и это объяснимо с эволюционной точки зрения. Животные, как и люди на ранних стадиях своего развития, чтобы выжить, должны были понимать, где находится больше ресурсов для пропитания и откуда исходит бо́льшая опасность.

Обсуждая способность индивидов воспринимать и оценивать количество объектов посредством невербального механизма, исследователи различают несколько возможных стратегий. Первая стратегия связана с точной оценкой малого количества объектов без их подсчета. В исследованиях показано, что большинство индивидов способно быстро и правильно определить количество объектов без их точного подсчета в случае, если количество объектов не больше четырех (по другим данным не больше трех) [16]. Вторая стратегия — стратегия подсчета — используется для оценки количества в случае большего числа объектов. По данным исследований, эта стратегия требует больше времени и эффективна только в случае последовательного переключения внимания с одного объекта на другой, что предполагает дискретное восприятие каждого объекта в множестве. Однако при наличии большого количества объектов может быть использована и третья стратегия — система приблизительной количественной оценки (СПКО; Approximate Number System, ANS), более быстрая, чем стратегия подсчета.

СПКО представляет собой функцию головного мозга, связанную с представлением и переработкой несимволической числовой информации [21]. Способность к оценке количества, которую еще можно назвать чувством числа, понимается как генетически заданная интуиция в отношении количества [8]. Чувство числа — это данная эволюцией способность, присущая человеку и животным. Она одинаково развита как у цивилизованных обществ, так и у представителей народ­ ностей, не знающих двузначных чисел. Чувство числа — это связанная с выживанием врожденная способность человека определять приблизительную меру или количество на глаз, слух и вес. Эта способность еще недостаточно изучена наукой. В частности, ученых волнуют вопросы, насколько чувство числа связано с наследственностью и как оно соотносится с математическими способностями. Как показывают исследования, чувство числа есть даже у младенцев. Ученые проводили опыты, пытаясь понять, способны ли младенцы видеть разницу между меньшим и большим количеством точек на экране. Результаты подтвердили, что малыши в возрасте нескольких месяцев способны понимать различия между большим и меньшим количеством точек, когда разница довольно велика (например, 1:2) [16]. Чувство числа развивается у человека с возрастом и достигает пика к 30 годам, оставаясь на этом уровне практически всю жизнь.

Баттерворт, Варма и Лауриллард, специалисты из Института когнитивных нейронаук Лондонского университетского колледжа, суммируя результаты своих работ, утверждают, что «почти все арифметические и числовые процессы затрагивают теменные доли, особенно внутритеменную борозду», и предполагают, что эти области мозга лежат в основе математических возможностей [6]. Таким образом, область мозга, вовлеченная в невербальный механизм, — это внутритеменная борозда в обоих полушариях. Для вербального механизма основная область головного мозга, вовлеченная в процесс, — это, вероятно, префронтальная кора или угловая извилина (мозговая извилина задней части теменной доли).

Определение онтогенетической дискалькулии

В 2009 году психолог Оксфордского университета Э. Даукер и психолог университета Зальцбурга Л. Кауфман опубликовали в журнале «Cognitive Development» краткий обзор, освещающий историю исследований и место дискалькулии в ряду трудностей в учебе [9]. Авторы обзора дали согласованное определение дискалькулии как «атипичного развития цифровой когнитивной функции, которое, хотя и не связано с общим нарушением интеллекта или необучаемостью, тем не менее вызывает серьезные затруднения уже при обучении арифметическим действиям в начальной школе и может усугубляться по мере усложнения учебного материала». Проблема низкой восприимчивости отдельных групп учащихся к математическим символам и операциям достигла такого масштаба, что в 2001 году министерством образования и профессионального обучения Великобритании она была официально признана специфической неспособностью к учебе.

Упомянутые выше специалисты Баттерворт, Варма и Лауриллард в своей полемической статье «От мозга к обучению» указали на серьезную недооцененность дискальку­ лии и выразили надежду на эффективность уже имеющихся стратегий вмешательства, ориентированных на внешние проявления этого расстройства. Они полагают, что необ­ ходимо работать в направлении поиска компенсаторных обходных путей и резервов мозга, которые бы позволили оптимизировать формирование базовой арифметической грамотности [6].

Исследователи уверены: наука располагает достаточны­ ми доказательствами того, что дискалькулия не является обособленной от других проблемой развития, а лежащие в ее основе нейрофизиологические механизмы могут вызывать широкий спектр поведенческих и функциональных нарушений, причем у каждого индивида можно фиксировать как единичные, так и множественные расстройства, имеющие разную природу. Следовательно, дискалькулию можно рассматривать как гетерогенное расстройство с широким спектром возникающих в связи с этим симптомов [9].

С течением времени возрастающий объем научного знания о дискалькулии позволил предложить методологически более совершенные стратегии вмешательства, которые позволяют оптимизировать школьное обучение детей с математическими трудностями. Стала очевидной необходимость соединения научных открытий с практическими разработками.

Так, многонациональная исследовательская группа психологов, представляющих четыре ведущих европейских университета, опубликовала статью, обосновывающую направления оптимизации существующих стратегий коррекции для обучения детей с онтогенетической дискалькулией (Developmental dyscalculia, DD), или расстройством, выражающимся в трудностях усвоения математики и арифметики (Mathematical learning disability, MLD). По данным авторов этой статьи, такие трудности испытывают начиная с детства от 3 до 13 % населения. По мнению авторов, предпосылки к успеху коррекции лежат прежде всего в новом понимании дискалькулии как анатомически и нейробиологически обусловленного расстройства [15].

Развитие математических навыков у школьников с синдромом Дауна

Развитие математических навыков у учащихся с синдромом Дауна продолжает оставаться предметом многочисленных исследований. В 2001 году Сью Бакли и Джиллиан Берд, специалисты из Фонда содействия образованию детей с синдромом Дауна (DSEI), подготовили обзор литературы по развитию арифметических навыков и представлений о числах у учащихся с синдромом Дауна [5]. В настоящий момент большинство исследований в этой области указывают на непосредственную связь между сложностями в арифметике и онтогенетической дискалькулией [13].

Возможно, именно в результате взгляда на математику как иерархическую систему с обязательной базой — арифметикой, считающейся предпосылкой для любого дальнейшего изучения, исследования по формированию математических представлений у учащихся с синдромом Дауна в областях, выходящих за рамки арифметических вычислений, редки. Появилось лишь несколько исследований, демонстрирующих успехи в таких областях, как алгебра и аналитическая геометрия [12].

Э. Монари Мартинес, специалист отделения фундаментальной и прикладной математики Падуанского университета в Италии, провела исследование, в котором доказала, что подростки с синдромом Дауна способны решать алгебраические задачи [18].

Знакомство с более сложными темами, такими как алгебраические вычисления и аналитическая геометрия, может помочь повысить самооценку людей с синдромом Дауна и улучшить их арифметические навыки. Учащиеся могут изучать и применять математические приемы в других кон­ текстах.

Исследовательская литература по обучению детей с синдромом Дауна математике указывает на универсальные трудности с арифметикой. Хотя исследования и выяв­ ляют ряд успехов у таких детей, ни одно из их достижений не идет в сравнение с успехами их типично развивающихся сверстников [13]. Кроме того, некоторые исследования показывают, что арифметика представляет для них наиболее сложную область по сравнению, например, с лингвистикой (см., напр.: [20]).

В своем исследовании Р. Фарер, специалист из университета Квинсленда (Австралия), предлагает гипотезу о связи между онтогенетической дискалькулией и синдромом Дауна. Несмотря на то, что онтогенетическая дискалькулия отмечается всего у 3–6 % населения [10], согласно гипотезе Фарер она встречается у большинства людей с синдромом Дауна [11].

Доказательства гипотезы

До недавнего времени знания о присущих людям с синдромом Дауна особенностях строения ЦНС базировались на исследованиях биологического материала. Были получены данные, согласно которым вес головного мозга у людей с синдромом Дауна меньше среднестатистического; мозжечок, лобные и височные доли существенно меньше по объему; значительно уже, по сравнению с параметрами нормативной популяции, верхнетеменная извилина. Только в последние годы новые технические возможности (применение высоко­ технологичной методологии функциональной магнитно­резонансной томографии — фМРТ) позволили проводить качественные исследования влияния строения головного мозга на жизнь и развитие людей с синдромом Дауна.

В настоящее время исследования головного мозга не дают прямых доказательств связи синдрома Дауна и онтогенетической дискалькулии. Однако косвенных доказательств довольно много. В последние годы исследователи в области психологии начали изучать математическое мышление у людей с синдромом Дауна. Эти точечные исследования начинают проливать свет на особенности понимания ими смысла чисел, отсутствие представлений о числовой иерархии и дают четкое указание на те аспекты невербального механизма, которые не действуют должным образом, — то есть доказывают связь синдрома Дауна с онтогенетической дискалькулией.

Исследователи, занимающиеся проблемами дискалькулии, рассмотрели последствия этого диагноза для учащихся, а некоторые из них предлагают различные тренинги для профилактики дискалькулии. Многие считают, что вычисления и арифметическое мышление являются необходимыми предпосылками для дальнейшего изучения математики. Эти позиции являются проблематичными для учащихся с синдромом Дауна и, возможно, других учащихся, имеющих трудности в усвоении математики.

Появляются некоторые свидетельства эффективности когнитивного обучения для смягчения симптомов дискалькулии, хотя для достижения этого улучшения необходимы интенсивные усилия. Если дискалькулия является единственным когнитивным расстройством у ученика, он вполне может быть достаточно мотивирован на его преодоление, и это оправдает усилия. Однако для учащихся с синдромом Дауна, у которых есть много трудностей в учебе помимо дискалькулии, когнитивное обучение не может рассматриваться как единственный способ решения проблемы.

В настоящее время появляется все больше доказательств того, что учащиеся с онтогенетической дискалькулией могут успешно обучаться другим аспектам математики.

Как отмечалось ранее, некоторые ученики с синдромом Дауна смогли выполнить математические задачи из ряда областей, включая основы алгебры, тригонометрии и опе­ рации с процентами. Следует отметить, что каждый из этих учащихся делал расчеты при помощи калькулятора.

Гипотеза об онтогенетической дискалькулии помогает сформулировать следующие выводы в отношении обучения детей с синдромом Дауна математике:

1. Учащиеся должны использовать калькулятор в  качестве вспомогательного устройства. В данном случае калькулятор служит дополнением вычислительных функций мозга.
2. Необходимо постоянно поддерживать представления о числе, используя различные визуальные опоры, например числовую ось.
3. Учебные программы по математике для учащихся с синдромом Дауна необходимо коренным образом изменить, чтобы при обучении умению обращаться с деньгами сосре­ доточиться на использовании вспомогательных устройств, таких как калькуляторы и другие электронные устройства.
4. Учителям не требуется ждать, пока ученики достигнут успехов в арифметике, чтобы начать преподавать им другие аспекты математики. Содержание учебной программы должно соответствовать их школьному уровню и при необходимости корректироваться.

Косвенным доказательством гипотезы о том, что онтогенетическая дискалькулия является признаком синдрома Дауна, служит повсеместный характер трудностей, связанных с арифметическими вычислениями у этой группы людей во всем мире, подтвержденный многолетними исследованиями в этой области. Необходимы прямые доказательства для под­ тверждения гипотезы, и они могут быть получены благодаря исследованиям мозга с помощью функциональной магнитно­резонансной томографии, в частности для изучения влияния внутритеменной борозды на математические способности. В качестве альтернативы фМРТ необходимо разработать инструменты клинической оценки, например опросы, осно­ ванные на задачах, которые предназначены для учащихся с синдромом Дауна и оценивают уровень развития их математических навыков.

Литература

1. Бакли С. Как научить математическому мышлению // Синдром Дауна. XXI век. 2009. № 2. С. 25–28.
2. Ермолова Т. В., Пономарева В. В., Флорова Н. Б. Дискалькулия детского возраста как системная проблема обучения // Современная зарубежная психология. 2016. Т. 5, № 3. С. 7–27.
3. Математическое мышление: блог о саморазвитии. URL: https://4brain.ru/blog/математическое­мышление/
4. Щербина Д. Н., Богун А. С., Кириллова Е. В. Нейрофизиологические механизмы выполнения мыслительных операций при решении арифметических задач : электронное учебное пособие. Ростов н/Д, 2008.
5. Buckley S., Bird G. Number Skills for Individuals with Down Syndrome: An Overview. Pt. 1. Down Syndrome Educational Trust, 2001. 26 р. (Down Syndrome Issues & Information).
6. Butterworth B, Varma S, Laurillard D. Dyscalculia: From Brain to Education // Science. 2011. Vol. 332, Iss. 6033. P. 1049–1053.
7. Dehaene S. The number sense: How the mind creates mathematics. L. : Penguin, 1999. 288 p.
8. Dehaene S. The number sense. How the mind creates mathematics. Revised and Expanded ed. N. Y. : Oxford University Press., 2011 352 p.
9. Dowker A., Kaufmann L. Atypical development of numerical cognition: Characteristics of developmental dyscalculia // Cognitive Development. 2009. Vol. 24. P. 339–342.
10. Dysfunctional neural network of spatial working memory contributes to developmental dyscalculia / S. Rotzer et al. // Neuropsychologia. 2009. Vol. 47. P. 2859–2865.
11. Faragher R. M. Hypothesis of Developmental Dyscalculia and Down Syndrome: Implications for Mathematics Education : Conference paper // 40th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. Melbourne, Australia, 2017. URL: https://www.researchgate.net/publication/318418958_Hypothesis_ of_Developmental_Dyscalculia_and_Down_Syndrome_ Implications_for_Mathematics_Education (дата обращения: 17.12.2018).
12. Faragher R. M. Learning mathematics in the secondary school: Possibilities for students with Down syndrome // Educating learners with Down syndrome: Research, theory and practice with children and adolescents / R. Faragher & B. Clarke (Eds.). L. : Routledge, 2014. P. 174–191.
13. Faragher R. M., Clarke B. Mathematics profile of the learner with Down syndrome // Ibid. P. 119–145.
14. Gilmore C., Attridge N., Inglis M. Measuring the approximate number system // The Quarterly Journal of Experimental Psychology. 2011. Vol. 64, № 11. P. 2099–2109.
15. Interventions for improving numerical abilities: Present and future Trends / R. Kadosh Cohen et al. // Neuroscience and Education, 2013. Vol. 38, № 4. Р. 293–304.
16. Izard V., Sann C., Spelke E. S., Streri A. Newborn infants perceive abstract numbers // PNAS. 2009. Vol. 106, № 25. P. 10382–10385.
17. Kucian K., von Aster M. Developmental dyscalculia // European Journal of Pediatrics. 2015. Vol. 174. P. 1–13.
18. Monari Martinez E., Benedetti N. Learning mathematics in mainstream secondary schools: Experiences of students with Down’s syndrome // European Journal of Special Needs Education. 2011. Vol. 26, № 4. P. 531–540.
19. Monari Martinez E., Pellegrini K. Algebra and problem solving in Down syndrome: A study with 15 teenagers // European Journal of Special Needs Education. 2010. Vol. 25, № 1. P. 13–29.