Анна, добрый день!

Видео просмотрела несколько раз.

Видимо, игра с массажем у вас частая игра. Очень яркий момент с варениками: и папа и Андрюша очень ярко выполняют эту часть

.
А если подробней, то видно, что у вас в семье очень теплые отношения. Андрей все время смотрит/ориентируется то на папу, то на Вас; выполняет действия по словесной инструкции. Здорово, что используете различные игрушки, повторяете за Андреем некоторые слова. Заметно, что в этом случае Андрей более внимателен к действиям отца.
А теперь как можно немного изменить/усложнить игры в перспективе.
Андрей почти не перемещается во время игр (с мячом и во время массажа). Он сидит на месте и действует почти всегда только одна рука (за исключением тех моментов, когда он держит игрушку двумя руками). Второй рукой Андрей опирается или о пол, или о спину папы (во время массажа). Обратите внимание на то, что в играх и в деятельности важно действовать двумя руками (не синхронно, разнонаправленно). Возможно надо изменить сценарий игры (добавить действия) или расположить игрушки чуть дальше друг от друга, чтобы у Андрея была возможность совершать перемещения в пространстве и вторую руку он задействовал активнее. В игре с мячом: можно использовать не три игрушки, а четыре. Там у вас папа в какой-то момент берет в руки другую игрушку - Бони (собаку), вот хорошо бы и Андрею сменить игрушку. Посмотрите в статье этапы усложнения игры (усложнение игры с детьми второй группы). Там как раз и говорится об этом.
Еще один важный момент. Андрей часто проговаривает звуки с некоторым напряжением в области голосовых связок. Получается как рычание. Может показаться, что он повторяет папину интонацию, но Андрей рычит чаще папы. Мне кажется, что Андрей пытается сбросить некоторое физическое напряжение. Чтобы это проявлялось реже, попробуйте "насытить" игру прикосновениями к различным частям тела Андрея. Например, когда Андрей ловит мяч, подойдите к Андрею чуть ближе положите свои ладони поверх его рук, можно "чуть крепче" прижать свои руки, чтобы Андрей в этот момент посмотрел на взрослого. В игре с массажем можно чередовать действия на игрушке, действия на спине Андрея и действия на спине папы. Добавьте в деятельность больше тактильного компонента.
Андрей хорошо подражает звукосочетаниям, но он мало слышит образцов. Вы часто спрашивали его: "Как рычит тигр?" Но Андрей не произносил, в этот момент он отвлекался на другое действие. Если Андрей не проговаривает сразу ожидаемое, в таких случаях давайте сами ему образец слов.
В игре был момент, когда мяч укатился в сторону, хорошо бы его возвращать в игру через поручения и комментировать действия: "Опа, укатился мяч. Далеко. РРР, Тигр, неси мяч" или "Андрей, неси мяч. Будем дальше катать", т. е. через косвенные или прямые инструкции. В записи видно, что Андрей сам взял мяч, но комментирования этого действия не было.
Когда Андрей взял мяч, он начал кряхтеть, было не понятно, что он имел ввиду. Вот в таких случаях хорошо бы спрашивать и уточнять у Андрея, что он имел ввиду. Например: "Тигр поймал мяч?" и показать имитирующий жест (обхватить себя руками). "Поймал? Да?" В этом случае вы даете неречевой образец обозначения действия, который Андрей в перспективе сможет использовать, а второй момент - вы прокомментируете само действие и зафиксируете таким образом внимание Андрея на глагольной форме.
Очень хороший момент был, когда зазвучала игрушка. У Вас и у папы получилось прокомментировать это действие. А папа ваш задал Андрей важные вопросы: "Кто поет?" и "Где песенки поют?" Очень хорошие, правильные вопросы на ориентировку. Только вариант ответа, думаю Андрею сложно было проговорить. Образец звучал как: "У барашки или у тигренка?" Эти слова сложны были для проговаривания. Можно было вслед за этим вопросом спросить более облегченными словами: "Тут или там?" или "Кто поет: барашка - ме или тигренок - РРР?" Но получилось так, что все переключились на другие действия, и Андрей не дал обратную связь на вопрос папы. В этом моменте вы чуть поторопились.
На фразу: "Дерутся лбами" - можно было показать рукой на лоб и предложить Андрею: "А теперь мы -лбами подеремся"
Основная идея: подкреплять слова указательными или имитирующими жестами. Особое внимание обратить на использование глаголов. Вам надо будет немного перестроиться и начать комментировать происходящие действия. Комментировать звукоподражательными словами и имитирующими или указательными жестами (в этом случае указывать на объект воздействия).
Анна, еще раз хочу отметить, что Андрей очень чуткий и отзывчивый мальчик. Видно, что ему важно общение с вами, что ему нравится с вами договариваться, играть. Это очень важный момент. Андрей чувствует потребность в общении. Теперь необходимо дать ему образцы общения, которые он может повторить в след за взрослым.
Еще параллельно с играми можно попробовать методику, которую описывает Полина Львовна.
Только все же предметной деятельности уделите чуть бОльшее внимание.